Finite-element discretization of a linearized 2−D model for lubricated oil transportation

We discretize in space the equations obtained at each time step when discretising in time a Navier-Stokes system modelling the 2 − D flow in a horizontal pipe of two immiscible fluids with comparable densities, but very different viscosities. At each time step the system reduces to a Stokes-like problem with non-standard conditions at the boundary and at the interface between the two fluids. We discretize this system with the “mini-element”, establish error estimates and present some numerical experiments. Résumé: Nous discrétisons en espace les équations obtenues à chaque pas de temps lors de la discrétisation d’un système de Navier-Stokes modélisant l’écoulement bi-dimensionnel, dans une canalisation horizontale, de deux fluides non-miscibles ayant des densités voisines mais des viscosités très différentes. A chaque pas de temps, le système devient un problème de type Stokes avec des conditions non-standard sur les bords et à l’interface entre les deux fluides. Nous discrétisons ce système avec le “mini-élément”, nous démontrons des estimations d’erreur et nous présentons des expériences numériques.